MATRIKS TRANSFORMASI ELEMENTER & DETERMINAN 

I. Transformasi Elementer 

A. Pada Baris dan Kolom 

Yang dimaksud dengan transformai pada baris atau kolom suatu matriks A adalah sebagai berikut.

1. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran kolom ke-i dan kolom ke-j dan ditulis H_ij(A) untuk transformasi baris dan K_ij(A) untuk transformasi kolom.

Contoh 

K₁₃(A) berarti menukar kolom ke-2 matriks A dengan kolom ke-3 

2. memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h¹0, ditulis H_i^(h)(A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar k¹0, ditulis K_i^(k)(A). 

Contoh :

3. Menambah kolom ke-i dengan k kali koom ke-j, ditulis K_ij^(k)(A) dan menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j, ditulis H_ij^(h)(A).

Contoh :

B. Matriks Ekivalen 

Dua buah matriks A dan B disebut ekivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer terhadap baris dan kolom. Kalau transformasi elementer hanya terjadi pada baris saja disebut ELEMENTER BARIS, sedangkan jika transformasi terjadi pada kolom saja disebut ELEMENTER KOLOM.

II. DETERMINAN

Pengertian 

Determinan ialah sebuah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi.

Determinan matriks A ditulis dengan sebuah tanda, yaitu: det(A), det A, atau |A|. Determinan bisa dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks.

Apabila matriksnya berbentuk 2 × 2, maka rumus untuk mencari determinan ialah:

Apabila matriksnya berbentuk 3 × 3 matrix A, maka rumusnya adalah:

Rumus Leibniz untuk mencari determinan matriks n × n ialah:

Metode eliminasi Gauss juga bisa dipakai.

Sebagai contoh, yaitu pada determinan matriks berikut:

bisa dihitung dengan menggunakan sebuah matriks berikut:

Keterangan:

Di sini, B diperoleh dari A dengan menambahkan −1/2× baris pertama dengan baris yang kedua, sehingga det(A) = det(B).

Kemudian C diperoleh dari B dengan menambahkan kolom pertama dengan kolom ketiga, sehingga det(C) = det(B). Sementara itu, yang D didapat dari C dengan menukar kolom kedua dan ketiga, sehingga det(D) = −det(C). Determinan matriks segitiga D merupakan hasil dari perkalian diagonal utamannya : (−2) · 2 · 4.5 = −18.

Oleh karena itu, det(A) = −det(D) = +18.

Sifat – Sifat Determinan Matriks

Ada beberapa sifat – sifat determinan matriks, yaitu diantarannya:

1. Apabila semua elemen dari salah satu baris atau kolom sama dengan nol, maka determinan matriks tersebut adalah nol. Perhatikan contoh berikut:

Misalkan  : 

2. Apabila semua elemen dari salah satu baris atau kolom itu sama dengan elemen-elemen baris atau kolom lain, maka determinan matriks tersebut adalah nol.

Perhatikan contoh berikut:

Misalkan: B =  (Sebab elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 adalah sama).

3. Apabila elemen-elemen salah satu dari baris atau kolom adalah merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris atau kolom lain maka determinan matriks tersebut adalah nol.

Perhatikan contoh di bawahberikut:

Misalkan: A =  (Sebab elemen-elemen baris ke-3 sama dengan kelipatan elemen-elemen baris ke-1).

4. |AB| : |A| ×|B|

5. |AT| = |A|, untuk AT ialah transpose dari matriks A.

6. |A–1| =  , untuk A–1 ialah invers dari matriks A.

7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k adalahsuatu konstanta.