INTEGRAL

Integral adalah bentuk operasi matematika yang menjadi invers (kebalikan) dari sebuah operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu.

Integral sebagai invers/kebalikan dari turunan disebut sebagai itegral tak tentu.

·                     Integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentudisebut integral tentu.

Rumus

integral f(x)dx

·                     f(x) = fungsi yang akan diintegralkan

·                     dx   = tanda untuk melakukan diferensiasi terhadap x

·                     integral f(x)dx sebagai notasi diferensiasi dari the primitive function/dari fungsi asalnya.

Rumus dasar integral:

Aturan-Aturan Dasar Integral 

1. Rule 1 (The Power Rule)

2. Rule 2 (The Integral Of Multiple)



3. Rule 3 (The Subtitution Rule)



4. Rule 4 (The Logarithmic Rule)



5. Rule 5 (The Exponential Rule)



6. Rule 6 (The Integral Of Sum)



7. Rule 7 (Integration by Parts)
Jika u = u(x) dan du = u′(x) dx, sedangkan v = v(x) dan dv = v′(x) dx, lalu integration by parts dinyatakan dengan :

atau lebih jelasnya :



8. Rule 8 (Trigonometric Rules)

MATRIKS PERSAMAAN SIMULTAN DAN LINIER

Persamaan simultan adalah kumpulan dari beberapa persamaan linear yang terdiri dari satu, dua atau tiga variable bebas. Untuk persamaan linear yang terdiri dari satu variable, misalnya 4x + 5 = 9, maka dengan mudah bisa diselesaikan persamaan tersebut dengan memindahkan ruasnya. Dapat dilihat pada contoh berikut :

     4x + 5 = 9 4x = 4 x = 1

Bentuk Umum Persamaan Linier:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + a₁₃ x₃ + ... + a_1n x_n = C₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + a­₂₃ x₃ + ... + a_2n x_n = C₂

a₃₁ x₁ + a₃₂ x₂ + a₃₃ x₃ + ... + a_3n x_n = C₃

.          .            .                   .            .

.          .            .                   .            .

.          .            .                   .            .

a_m1 x₁    a_m2 x₂    a_m3 x₃         a_mn x_n    C_m

                        

                             

A_mn               X_{n x 1}     = C_{n x 1}              Persamaan 12.1

X_{n x 1  =}   atau  X_{n x 1} = C_{n x 1}.  [A _{m xn} ]’

              Berdasarkan hal diatas, seorang ahli matematika yang bernama “Cramer “ menemukan satu metoda guna menyelesaikan persamaan – persamaan linier secara simultan atau lebih populer dengan istilah Kaedah Cramer . Penyelesaian berdasarkan persamaan 12.1 dilakukan dengan cara menghitung nilai dari variabel X yang dapat diperoleh dengan langkah – langkah sebagai berikut:

1. Menghitung determinan matriks koefisien

│A│ =  

          

2.       Menghitung determinan – determinan dari matriks koefisien yang sudah diganti kolomnya dengan matriks konstanta dan dihitung determinannya

3.       Menghitung nilai variabel – variabel tersebut dengan menggunakan formulasi sebagai berikut:

                                   Ẋ₁ = 

                                   Ẋ₂ = 

Ẋ₃ = 

Ẋ_n = 

Ẋ_i =    ................    Persamaan 12.2

                                       Ket : i = 1,2,3,...,n

Keterangan:

      Dari formulasi 12.2 diatas dapat diamati bahwa penyebut dari Ẋ_i   adalah │C│ yang bersangkutan, sedangkan pembilangnya merupakan determinan dari koefisien matriks yang sudah diganti kolomnya dengan matriks konstanta. Setelah kolom ke –i diganti dengan matriks C yang diperoleh dari ruas kanan persamaan.

Persamaan linear dua variabel 

Metode invers 

a11x+a12y=b1$a_{11}x+a_{12}y=b_1$
a21x+a22y=b2$a_{21}x+a_{22}y=b_2$

Sistem persamaan di atas dapat diubah kedalam bentuk matriks menjadi

[a11a21a12a22][xy]=[b1b2]$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right]$

Jika matriks A adalah matriks dari koefisien-koefisien dari sistem persamaan linear sebelumnya, matriks X adalah matriks variabelnya, dan matriks B adalah matriks konstanta, maka matriks-matriks tersebut dapat ditulis menjadi
AX=B$AX=B$
Untuk dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut atau dalam hal ini menentukan nilai dari setiap variabelnya, dapat dilakukan dengan cara
X=A−1B$X=A^{-1}B$

Dengan A−1$A^{-1}$ merupakan invers matriks A. Dan perlu diingat bahwa invers dari suatu matriks, misalkan matriks A dapat ditentukan dengan rumus.

Bentuk Ax = b dapat dirumuskan sebagai berikut.

        asalkan ad – bc ≠ 0.

Metode Cramer 

Diberikan suatu sistem persamaan linear 2 × 2

maka solusinya adalah pasangan berurutan (x, y), dimana

dengan syarat D ≠ 0.

Persamaan linear tiga variabel

Metode Invers 

untuk sistem persamaan linear tiga variabel apabila ingin diselesaikan dengan menggunakan metode invers caranya hampir sama seperti pada sistem persamaan linear dua variabel. Namun, untuk sistem persamaan linear tiga variabel sedikit agak ribet karena untuk menentukan inversnya kita harus mencari minor dan kofaktornya terlebih dahulu. 

 a11 x1 +  a12 x2 + … + a1n xn    = b1

 a21 x1  +  a22 x2 + …  + a2n xn    = b2                   

  ….………………………………

  am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn  = bn

Persamaan linear diatas dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut: 

Penyelesaian persamaan simultan diatas diatas dapat dilakukan dengan menentukan balikan dari A, sedemikian sehingga diperoleh :

     AX = B          A-1AX = A-1B         X = A-1B

A = disebut matriks koefisien. 

X= disebut matrik variable

B= disebut matrik solusi

Metode Cramer

Aturan Cramer dapat diperluas untuk sistem persamaan linear 3 × 3, dengan menggunakan pola yang sama dengan sistem 2 × 2. Diberikan sistem umum 3 × 3,

Solusi-solusi dari sistem tersebut adalah x = Dx/D, y = Dy/D, dan z = Dz/D, dimana Dx, Dy, dan Dz dibentuk dengan mengganti koefisien variable-variabel yang bersangkutan dengan konstanta, dan D adalah determinan dari matriks koefisien (D ≠ 0).

---

Penerapan Aturan Cramer untuk Sistem 3 × 3

Diberikan suatu sistem persamaan linear 3 × 3

Solusi dari sistem tersebut adalah (x, y, z), dimana

dengan syarat D ≠ 0

---