dewipmeilinda: October 2019

TURUNAN FUNGSI LANJUTAN

Turunan fungsi logaritma
Turunan fungsi eksponensial
Turunan fungsi implisit
Turunan fungsi parameter

Turunan fungsi logaritma

Pada postingan saya yang lalu, saya telah menjelaskan tentang turunan fungsi polynomial f(x)= xⁿ, that was so easy. Nah, bagaimana jika sekarang kita mencoba menurunkan fungsi logaritma. Katakanlah semisal kta memiliki fungsi f(x) =⁵log(x³+x²-4) maka bagaimanakah kita menemukan turunan dari fungsi tersebut?Sebelum kita menginjak ke contoh tersebut, marilah kita uraikan dulu fungsi logaritma yang paling sederhana, yaitu: f(x) = ^alog x.Jika diketahui f(x) = ^alog x, maka,

Jadi jika f(x) = ^alog x, maka

Untuk f(x) =⁵log(x³+x²-4), maka a=5, g(x)= x³+x²-4, dan g’(x)=3 x²+2x. Sehingga turunan dari f(x) =⁵log(x³+x²-4) adalah

Turunan fungsi eksponensial

Dalam mempelajari matematika, seringkali kita menjumpai simbol ” e atau $e^x$ “. Simbol $e^{x}$ bukan hanya ada di buku materi namun juga biasa ditemui di kalkulator. Ternyata simbol tersebut bukanklah variabel biasa hanya untuk hiasan di kalkulator agar simbol – simbol di kalkulator terlihat lengkap, namun merupakan fungsi yang penting dalam matematika.

Saat di Sekolah Menengah Atas atau SMA, symbol “e” seringkali muncul dalam pembahasan integral dan turunan. Namun biasanya tidak dijabarkan secara khusus apa arti dari simbol tersebut, berapakah nilainya, dan bagaimana cara memperolehnya. Yang ada hanyalah rumus paten bahwa $\frac{d}{dx} e^{x} = e^{x}$ dan $\int e^{x} dx = e^{x}+c$ .
Jadi, $e^{x}$ disebut fungsi eksponensial, yaitu suatu fungsi dalam matematika yang dinotasikan dalam bentuk $e^{x}$ dengan e adalah basis logaritma natural, didefinisikan sebagai $e^{x}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{x}{n} \right )^{n}.$

Lalu berapakah nilai eksaknya? Dan bagaimana cara memperolehnya?
Dari sifat – sifat aljabar kita tahu bahwa:
1. $(a+b)^{1}=a + b$
2. $(a+b)^{2}=a^{2} + 2ab + b^{2}$
3. $(a+b)^{3}=a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$
4. $(a+b)^{4}=a^{4} + 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4}$
5. $(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} C\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}$

Bentuk notasi sigma di nomor 5 bisa dijabarkan seperti berikut:

$\\\sum_{k=0}^{n} C\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k} =C_{0}^{n}a^{n-0}b^{0} + C_{1}^{n}a^{n-1}b^{1} + C_{2}^{n}a^{n-2}b^{2} + ...+ C_{k}^{n}a^{n-k}b^{k} + ... + C_{n}^{n}a^{n-n}b^{b}\\\\ = a^{n} + n . a^{n-1}b + \frac{1}{2!}n(n-1)a^{n-2}b^{2} + \frac{1}{3!}n(n-1)(n-2)a^{n-3}b^{3} ...+ \frac{1}{k!}n(n-1)(n-2)...(n-(k-1))a^{n-k}b^{k} +...+ \frac{1}{n!}n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))a^{0}b^{n}$

Penjabaran tersebut merupakan dasar yang harus difahami terlebih dahulu untuk melangkah ke tahap selanjutnya. Ingat kembali definisi dari $e^{x}$ , bahwa $e^{x}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{x}{n} \right )^{n}.$
Jadi, jika kita mengganti nilai a dengan 1 dan b dengan $\frac{1}{x}$ , sehingga diperoleh:
6. $\\(1+\frac{1}{x})^{n} = \sum_{k=0}^{n} C\binom{n}{k}1^{n-k}\frac{1}{x}^{k} = \sum_{k=0}^{n} C\binom{n}{k}\frac{1}{x}^{k}\\\\= 1 + n\left ( \frac{x}{n} \right ) + \frac{1}{2!}n(n-1)\frac{x}{n}^{2} + \frac{1}{3!}n(n-1)(n-2)\frac{x}{n}^{3} ...+ \frac{1}{k!}n(n-1)(n-2)...(n-(k-1))\frac{x}{n}^{k} +...+ \frac{1}{n!}n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))\frac{x}{n}^{n} \\\\= 1 + x +\frac{1}{2!} n\left (1-\frac{1}{n} \right ) x^{2}+\frac{1}{3!} \left (1-\frac{1}{n} \right )\left (1-\frac{2}{n} \right ) x^{3}+...+\frac{1}{k!} \left (1-\frac{1}{n} \right )\left (1-\frac{2}{n} \right )...\left (n-\frac{(k-1)}{n} \right ) x^{k}+...+\frac{1}{n!} \left (1-\frac{1}{n} \right )\left (1-\frac{2}{n} \right ) ...\left (1-\frac{(n-1)}{n} \right )x^{n}+...[/latex]$
Jadi $e^{x}=\lim_{n\rightarrow \infty }1 + x +\frac{1}{2!} n\left (1-\frac{1}{n} \right ) x^{2}+\frac{1}{3!} \left (1-\frac{1}{n} \right )\left (1-\frac{2}{n} \right ) x^{3}+...+\frac{1}{k!} \left (1-\frac{1}{n} \right )\left (1-\frac{2}{n} \right )...\left (n-\frac{(k-1)}{n} \right ) x^{k}+...+\frac{1}{n!} \left (1-\frac{1}{n} \right )\left (1-\frac{2}{n} \right ) ...\left (1-\frac{(n-1)}{n} \right )x^{n}+...$

Jadi, $e^{x}=1 + x +\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{k}}{k!} +...+\frac{x^{n}}{n!} +...$
$e^{x} = \sum_{n=0}^\propto \frac{^{n}}{n!}$

Dari penjabaran diatas, kita sudah bisa menentukan berapa nilai e^{x}.
$e^{x}=1 + x +\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{k}}{k!} +...+\frac{x^{n}}{n!} +...$

Jika x kita ganti dengan 1, maka:
$e^{1}=1 + 1 +\frac{1^{2}}{2!}+\frac{1^{3}}{3!}+...+\frac{1^{k}}{k!} +...+\frac{1^{n}}{n!} +...$
e≈2,7

Kesimpulan
1. $e^{x}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{x}{n} \right )^{n}.$
2. $e^{x} = \sum_{n=0}^\propto \frac{^{n}}{n!}$

Dalam buku berbahasa inggris, fungsi “ $e^{x}$
” ditulis dengan notasi “exp (x)”.

Dari uraian diatas, kita sudah mengetahui nilai e dan $e^{x}$
. Selanjutnya kita akan coba mencari turunan dari fungsi $e^{x}$
.
1. Temukan f’(x) jika f(x)= $e^{x}$

$\\=e^{x}\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\left (1 +\frac{h^{1}}{2!}+\frac{h^{2}}{3!}+...+\frac{h^{k-1}}{k!} +...+\frac{h^{n-1}}{n!} +... \right )-1}{h}\\\\ =e^{x}\cdot 1 \\=e^{x}$
Jadi jika $f(x) = e^{x}$ , maka $f'(x) = e^{x}$

Fungsi $e^{x}$ jika diturunkan, ternyata hasilnya adalah fungsi itu sendiri.
Dari hasil tersebut dapat pula diperoleh $\int e^{x} dx = e^{x}+c$

Turunan fungsi implisit

Bentuk fungsi terbagi menjadi 2 yaitu fungsi eksplisit (y = f(x) atau x = g(y)) dan fungsi implisit f(x, y) = 0.

Misalkan tentukanlah turunan dari

· Fs Eksplisit ⟶ y = x2 + 2x maka = 2x + 2

· Fs Implisit ⟶2x2y + 4x – 1 = 0 maka 2x2y = -4x + 1 sehingga

Misalkan bentuk implisit x2y3 + 2xy2 – 3x + y – 1 = 0 maka y(x2y2 + 2xy + 1) – 3x – 1 = 0 maka dirubah bentuknya menjadi

Differensial Parsial dan Differensial Total

Definisi : dari fungsi f(x, y) = 0 yang dimaksud

1. = turunan parsial di f terhadap x ; selain x dianggap konstan(y dianggap konstan)

2. = turunan parsial di f terhadap y ; selain y dianggap konstan(x dianggap konstan)

3. df = dx + dy

dan disebut Differensial Parsial

df = dx + dy disebut Differensial Total

Turunan Pertama Fungsi f(x, y) = 0 maka df = dx + dy = 0 berarti

urunan Kedua dirumuskan :

Cara menyelesaikan soal bentuk Differensial Total

Cara I

Misalkan f(x, y) adalah fungsi 2 variabel yang bisa diturunkan differensial total di F adalah df (x, y) = dx + dy

Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari f(x, y) = 4x2y + 3xy3 – 2x + 1

Jawab :

Tentukan dulu nilai dari dan sehingga didapat :

= 8xy + 3y3 – 2 dan = 4x2 + 9xy2 maka differensial totalnya adalah

df (x, y) = dx + dy

df (x, y) = (8xy + 3y3 – 2) dx + (4x2 + 9xy2) dy

dari f(x, y) = 0

df(x , y) = d(0)

dx + dy = 0

dy = dx sehingga

2. Cara II

Masing – masing diturunkan terhadap x, y dianggap fungsi x (gunakan aturan rantai)
Nyatakan dalam x dan y

Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari x2 + y2 = 100

Cara I :

x2 + y2 – 100 = 0

f(x,y) = x2 + y2 – 100 = 0

= 2x dan = 2y jadi maka =

Cara II :

x2 + y2 – 100 = 0

(x2 + y2) = (100) dimana y fungsi x

(y2) = (y2) .

= 2y

2x + 2y = 0

2y = - 2x

Turunan fungsi parameter

Turunan Fungsi Parameter Apabila disajikan persamaan berbentuk: x= f(t) y= g(t) maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari xdan y, dan tdisebut parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dxdydengan cara sebagai berikut. Dari x= f(t) dibentuk t= h(x) dengan hfungsi invers dari f. Nampak bahwa y= g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi y= g(t) = g(h(x))

TURUNAN FUNGSI DUA VARIABEL

° Turunan Parsial.

Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka : 1. x berubah-ubah sedangkan y tertentu. 2 . y berubah-ubah sedangkan x tertentu.

Definisi

a. Turunan parsial terhadap variabel x
Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap x sbb :

ii) Turunan parsial terhadap variabel y

Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsiy, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap y sbb :

a. Fungsi dua peubah atau lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.
Contoh:
1. z = 2x + y
2. xy + xz – yz = 0

a. Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.

x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah

x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.DefinisiMisal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan

dan

Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.
Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh:

Differensial Total dan Turunan Total
membentuk turunan parsial dan ,perubahan dan ditinjau berasingan.sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama. Dalam Persamaan linier dari dan berbentuk disebut diferensial total dari z dititik 9( x,y) dan dinyatakan oleh dz :dz = jika z = f (x,y)mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D ,maka z mempunyai diferensial total :dz = disetiap titik (x,y) dari DUntuk fungsi dari variabel atau lebih ,misalnya w = f ( x, y ,u ,v ) maka :dw = Contoh1. tentukan dw jika w = !penyelesaian :dw = dx + dy - dz2. radius dan tinggi sebuah silinder lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm ,dengan kemungkinan kesalahan pengukuran .gunakan diferensial total untuk menaksir kesalahn maksimum dalam volume yang diukur.Penyelesaian :Diketahui : v =r= 4 cmh=10 cmdr=dh = 0,05 cmditanya : dv = ?jawab :dv = dr + dh dv = 2 + dhsubsitusikan r = 4 ,h = 10 cm dan dr =dh = sehingga menghasilkan dv =2 (40) ( (=
Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan.
Turunan Parsial Fungsi ImplisitFungsi Implisit 4 Peubah
BU dinyatakan dengan

Atau ditulis dalam bentukF(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri.

dewipmeilinda

Monday, 21 October 2019